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高考数学一轮复习 第十二章 统计与概率 第81课 几何概型概率教案

2020-10-17 08:34:45

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几何概型概率

一、教学目标

1.了解几何概型的基本概念、特点和意义,了解测度的简单含义;

2.了解几何概型的概率计算公式,并能运用其解决一些简单的问题。

二、基础知识回顾与梳理

1、一元二次方程,

(1)若,则方程有解的概率是__________.

(2)若,则方程有解的概率是__________.

【教学建议】本题主要是帮助学生正确区分古典概型与几何概型。教学时,可让学生总结古典概型与几何概型的区别与联系,进而分析本题的两问分别属于哪种类型。在正确判断的基础上,进一步思考古典概型与几何概型的求解方法,古典概型中的是多少,几何概型中区域选什么。另外本题中还要注意方程有解的条件以及引导学生正确求解区间的长度。

2、某电台整点新闻节目都是播放15分钟,你随机的打开收音机,刚好在播新闻的概率是__________.

【教学建议】本题改编自课本习题,目的是复习与长度有关的几何概型。教学时,引导学生分析打开收音机的时刻是不是随机的?是不是两整点之间的任何时刻都有可能,具不具有等可能性?该选用哪种概型来求解?选什么作为几何度量?

3、在一杯10升的清水中,有一条小鱼,现任意取出1

【教学建议】本题主要是复习与体积有关的几何概型。首先引导学生判断出这是几何概型,再去寻求选什么作为几何度量。鱼在水中的分布是随机的,与容器的形状无关,只与体积有关。

4、设有一个正方形网格,其中每个最小正方形的边长都为。现用直径为的硬币投掷到此网格上,则硬币落下后与格线有公共点的概率为__________.

【教学建议】本题选自课本习题,目的是复习与面积有关的几何概型。教学时,首先要判断出这是两种概型中的哪种。硬币落在正方形内的每个地方是不是等可能的?为什么要选择硬币的中心来研究?我们可以选正方形网格上的一个小正方形作为区域,那区域该怎么选呢?可以让学生拿一个硬币和一张纸出来,通过实验自己总结分析。

三、诊断练习

1、教学处理:课前由学生自主完成4道小题,并要求将解题过程简要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅班级同学的解答,了解学生的思路及主要错误。将知识问题化,通过问题驱动,使教学言而有物,帮助学生内化知识,初步形成能力。点评时要简洁,要点击要害。

2、诊断练习点评

题1.两根相距为的木杆上系一根绳子,拉直并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于的概率为______.

【分析与点评】灯可以挂在绳子上的任何地方,且可能性是一样的,故选用几何概型。先找出等于的临界点,在寻求大于的长度。答案为。

题2.利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”发生的概率为________.

【分析与点评】在0~1之间的均匀随机数是等可能的,故属于与长度有关的几何概型。

答案:eq \f(1,3)

题3.在面积为的的边上任取一点,则的面积大于的概率为__________.

【分析与点评】本题是关于长度问题的几何概型。答案为。

【变式】在面积为的内任取一点,则的面积大于的概率为__________.

【分析】注意分析变式与题3的区别。

题4.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P,则点P到点A的距离小于等于a

【分析与点评】本题是关于体积问题的几何概型;注意到点的距离小于等于的点的集合是?

答案为。

3、要点归纳

(1)要正确区分古典概型与几何概型:古典概型要求在一次实验中,可能出现的结果只有有限个,并且每个基本事件发生的可能性是相等的;而几何概型则适用于有无限多个结果且又有某种等可能性的场合。只有准确判断出概率类型,才能套用各自的计算公式求对数值。

(2)运用几何概型时,每个事件发生的概率只与构成该事件区域的测度(长度、面积、体积等)成正比,与区域的形状、位置无关。

四、范例导析

例1.已知关于的一元二次方程.

(1)若是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率;

(2)若,求方程没有实根的概率.

【教学处理】引导学生判断两个问题各属于什么概型,并讲出大概的解题思路,由教师板书。

【引导分析与精讲建议】

第(1)题分析:

问题1:一枚骰子掷两次得到的等可能的基本事件的个数是有限的还是无限的?

问题2:选择哪个概型来求解?

问题3:方程有两正根应满足什么条件?包括多少个等可能的基本事件?

第(2)题分析:

问题1:,得到的等可能的基本事件的个数是有限的还是无限的?

问题2:选择哪个概型来求解?

问题3:方程没有实数根应满足什么条件?

问题4:选择什么样的几何度量?

例2 (必修3课本例3改编)在等腰直角三角形中,

(1)在斜边上任取一点,求的概率;

(2)过直角顶点在内部任作一条射线,与线段交于点,求的概率.

【教学处理】要求学生独立思考分析两问的区别,画图分析,指明学生板演,再结合板演情况进行点评。

【引导分析与精讲建议】

1、判断是古典概型还是几何概型?

2、求的概率时,首先要考察,以确定在线段上的变化范围。

3、两问的区别在于点产生的方式不同,第一问中点可认为从均匀运动到而产生的,第二问则是从均匀运动到而产生的。

例3. 正四面体ABCD的体积为V,P是正四面体ABCD的内部的一个点.

(1) 设“VPABC≥eq \f(1,4)V”的事件为X,求概率P(X);

(2) 设“VPABC≥eq \f(1,4)V”且“VPBCD≥eq \f(1,4)V”的事件为Y,求概率P(Y).

解:(1) 如图,分别取DA、DB、DC上的点E、F、G,

并使DE=3EA,DF=3FB,DG=3GC,并连结EF、FG、GE,

则平面EFG∥平面ABC.

当P在正四面体DEFG内部运动

时,满足VPABC≥eq \f(1,4)V,

故P(X)=eq \f(VDEFG,VDABC)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,DA)))eq \s\up12(3)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(3)=eq \f(27,64).

(2) 在AB上取点H,使AH=3HB,在AC上取点I,

使AI=3IC,在AD上取点J,使AJ=3JD,

则P在正四面体AHIJ内部运动时,满足VPBCD≥eq \f(1,4)V.

设JH交EF于M,JI交EG于N,则面MIN∥面BCD.

结合(1),当P在正四面体DFEG的内部及正四面体AHIJ的内部运动,也即P在正四面体EMNJ内部运动时,同时满足VPABC≥eq \f(1,4)V且VPBCD≥eq \f(1,4)V,于是P(Y)=eq \f(VJEMN,VDABC)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(JE,DA)))eq \s\up12(3)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)=eq \f(1,8).

解题反思

1、我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机的取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可用几何概型来解。

2、有些几何概型可用长度作为测度,比如,把时刻抽象为点,则时间就是长度;转动瞬时角抽象为点,则转过角度就抽象为长度等等;有些问题直接与面积有关,也有一些实际问题,当涉及两个变量时,要利用平面直角坐标系来讨论,这也要采用面积为测度;有些问题需用体积、质量、重量等作为测度。

3、背景相似的问题,当等可能的视角不同时,其概率往往是不同的,应注意分析测度的差异。

4、本节的易错点在于不能根据题意建立几何概型,不能准确地用长度、面积、体积等去度量题目中的条件。